高校生に納得してもらう「n^0=1（0乗は1）」の考え方

「なんで２の０乗は１なんですか？」
今日塾で高校生にされた質問．
「えっそうだね〜　う〜ん」
…と言われて考えこんでしまった．
nを0回かける・・言われてみたらどんなことなんだろう？

「定義だからそんなの覚えろよ〜！」というのは簡単なことだけど，自分自身公式の意味とかわからないとなかなか覚えれない感じだったから気持ちがよく分かるし，理学部というよくわからないプライドもある(笑)．

どうにか納得いく説明ができないかなといろいろ考えたけどいい考えがうかばず．
「ごめん，次回までの宿題で！」ということで，ということで本やネットで調べてみた．

説明１
$2^5$ から書いてみるよ．
$2^5=32$ ， $2^4=16$ ， $2^3=8$ ， $2^2=4$ ， $2^1=2$
これから，
$2^4=\frac{2^5}{2}$ ， $2^3=\frac{2^4}{2}$ ， $2^2=\frac{2^3}{2}$ ， $2^1=\frac{2^2}{2}$
同じように考えて $2^0=\frac{2^1}{2}=1$ .

nを0回かけるという発想から離れて，「nのm乗」の一般的な性質から，帰納的にnの0乗を導きだすみたい．
何事も特殊な例より，一般論を導くことが大切なんて大学の先生が言ってたっけ．

説明２
$2^0=2^{1-1}$
指数法則 $a^ma^n=a^{m+n}$ が成り立つから
$2^0=2^{1-1}=2^12^{-1}=2\times\frac{1}{2}=1$ ．

説明３
$2^a$ は「２を $a$ 回かけろ」という意味だね．
同じように $2^1$ は「２を１回かけろ」という意味．
でも普通「かける」というのは２つの数の積をとるときに使うよね．
ここでは何に「２を１回」かけてるんだろう．
その数を試しに $x$ と置いてみよう．
$2^3=x \times2 \times2 \times2$
$2^2=x\times2\times2$
$2^1=x\times2$
こう見ていくと， $x$ は1であることが分かるね．
つまり， $2^a$ は「２を『１に』 $a$ 回かけろ」という意味なんだ．
よって， $2^0$ は２を『１に』0回かけろという意味．
$2^0=1$ ．

２をｘ回かけるという，よく言われる累乗の考え方を生かした説明．

でも０乗が１なんて確かに不思議だ．自分自身最初は疑問に思っていたのかもしれないけど，使ううちにそういうものと思うようになってしまっていたんだろう．いつのまにか当たり前のことが新鮮なものになるから，塾で教えるのはなかなかおもしろい．

＊はてなの数式tex記法が新しくなったみたい．アンチエイリアスがかかって数式もきれいに見える．ということで，tex記法を中にたくさん織り込んでみた．「×」の記号を出すのにすごく苦労…( \times と打ちます)．このホームページにお世話になりました（http://hooktail.sub.jp/tex/symbol/mathsymbols.html）．はてなで初めてtexを書く方には参考になると思います．